关于带表面张力的 Muskat 问题的适定性

我们考虑带表面张力的 Muskat 问题，针对一种或两种流体、有或没有黏性跳跃、无限深度或 Lipschitz 刚性边界，以及界面任意维数 $d$ 的情形。该问题是非局部的、拟线性的，且主导阶在 Sobolev 空间 $H^{s_c}(\mathbb{R}^d)$ 中具有标度不变性，其中 $s_c=1+\frac d2$。我们证明了在所有亚临界 Sobolev 空间 $H^s(\mathbb{R}^d)$（$s>s_c$）中大初值数据的局部适定性，允许初始界面的曲率无界，并且当 $d=1$ 时甚至不可平方积分。据我们所知，这是首个覆盖带表面张力的 Muskat 问题所有亚临界 Sobolev 空间的大初值数据适定性结果。我们用 Dirichlet-Neumann 算子重新表述该问题，并采用仿微分方法将其化为一个显式的抛物方程，这本身也具有独立意义。