若干周期 Muskat 问题的适定性与稳定性结果

我们研究水平周期情形下、具有任意密度与黏度的二维 Muskat 问题。我们证明在存在表面张力效应时，Muskat 问题是一个拟线性抛物型问题，且对每个 $r\in(2,3)$ 在 Sobolev 空间 $H^r(\mathbb{S})$ 中适定。当忽略表面张力效应时，Muskat 问题是一个完全非线性演化方程，并在 Rayleigh-Taylor 条件满足的 regime 下为抛物型。随后我们建立了 Muskat 问题在由 Rayleigh-Taylor 条件定义的 $H^2(\mathbb{S})$ 开子集中的适定性。此外，我们辨识了所有平衡解，并研究了平凡平衡解与小型指状平衡解的稳定性性质。同时也概述了如抛物光滑化、爆破行为以及整体存在性判据等解的其他定性性质。