Muskat 问题在次临界 $L_p$-Sobolev 空间中的适定性

我们研究描述两种不混溶流体在二维均匀多孔介质中垂直运动的 Muskat 问题，采用 $L_p$ 框架，其中 $p\in(1,\infty)$。Sobolev 空间 $W^s_p(\mathbb{R})$ 在 $s=1+1/p$ 时是该问题的临界空间。我们对 $s\in (1+1/p,2)$ 证明 Rayleigh-Taylor 条件确定 $W^s_p(\mathbb{R})$ 的一个开子集，在该子集内 Muskat 问题为抛物型。这使我们能够建立该问题在所有这些次临界空间中的局部适定性以及抛物光滑性质。