关于不可压缩粘性磁流体动力学方程的 Rayleigh-Taylor 不稳定性

本文研究了两种不可压缩、不混溶、粘性磁流体动力学 (MHD) 流体的 Rayleigh-Taylor 问题，其中电阻率为零，存在或不存在表面张力，并具有特殊的初始磁场；这些流体在均匀重力场中随自由界面演化。首先，我们在拉格朗日坐标系中将无限平板中的 MHD 方程重构为带有由流体流动映射诱导的力项的 Navier-Stokes 方程。然后，我们分析了围绕稳态的线性化问题，该稳态描述了较重的不混溶流体位于较轻流体之上，两者由自由界面分隔，且均处于（不稳定）平衡状态。通过研究一族修正变分问题的通用方法，我们构造了线性化问题的光滑解（限制在每个流体域内），这些解在 Sobolev 空间中随时间指数快速增长，从而得出了线性化问题的全局不稳定性结果。最后，利用这些病态解，我们在适当意义上证明了对应非线性问题的全局不稳定性。此外，我们计算出所谓的临界数确实等于 $\sqrt{g[\varrho]/2}$。