Muskat 问题适定性的仿微分方法

我们研究单流体或双流体、有或没有粘度跳跃、有或没有刚性边界、以及界面任意空间维数 $d$ 下的 Muskat 问题。Muskat 问题在 Sobolev 空间 $H^{s_c}(\mathbb{R}^d)$ 中具标度不变性，其中 $s_c=1+\frac{d}{2}$。采用仿微分方法，我们证明了在任意亚临界 Sobolev 空间 $H^s(\mathbb{R}^d)$（$s>s_c$）中对大数据的局部适定性。此外，刚性边界仅需为 Lipschitz 且可具有任意大变化。对具有粘度跳跃的双流体情形假设 Rayleigh-Taylor 稳定性条件，但证明了对单流体情形该条件自动满足。本工作的出发点是仅用 Drichlet-Neumann 算子进行的重新表述。证明的关键要素是在粗糙区域中 Drichlet-Neumann 算子的新仿线性化与压缩结果。