具有非连续渗透率的 Muskat 问题的适定性与趋于平衡的衰减

我们首先证明了模拟二维非均匀多孔介质中流体流动的 Muskat 问题的局部时间适定性。多孔介质的渗透率由阶跃函数描述，在固定于时间的曲线 $(x_1,-1+f(x_1))$ 上具有跳跃不连续性，而将流体与真空区域分隔开的界面由时间依赖的曲线 $(x_1,h(x_1,t))$ 给出。我们的估计基于一种新方法，该方法依赖于对耦合 Darcy 定律与流体不可压缩性的偏微分方程系统的仔细研究，而不是对界面函数 $h$ 的奇异积分围道方程的分析。我们能够针对由 $h_0 \in H^2$ 给出的任意初始界面，以及由 $f \in H^{2.5}$ 给出的任意渗透率不连续曲线，发展出存在性理论。特别地，我们的方法允许两条曲线具有（逐点的）无界曲率。在渗透率不连续性为集合 $f=0$ 的情况下，我们证明了小初始数据的整体存在性和趋于平衡的衰减。这种衰减是利用一个新的能量-能量耗散不等式获得的，该不等式将流体内部速度的切向导数与界面的曲率耦合起来。据我们所知，这是具有非连续渗透率的 Muskat 问题的第一个整体存在性结果。