关于Muskat问题的全局存在性

Muskat问题模拟了两种具有不同恒定密度的不可压缩不混溶流体之间界面的动力学。本文证明了三个结果。首先，我们证明了一个$L^2(\R)$最大值原理，其形式为界面方程\eqref{ec1d}满足的一个新的“对数”守恒律\eqref{ln}。第二个结果是，对于满足$\|f_0\|_{L^\infty}<\infty$和$\|\partial_x f_0\|_{L^\infty}<1$的初始数据，证明了Lipschitz连续解的全局存在性。我们利用了$\|\partial_x f_0\|_{L^\infty}<1$这一界被解传播的事实，这相对于对数守恒律赋予了更强的紧致性。最后，如果初始数据小于一个可显式计算的常数（例如$\| f\|_1 \le 1/5$），我们证明了唯一强解的全局存在性结果。此前此类结果使用的是一个非显式的小常数$\epsilon \ll1$。