具有大无穷能量初值的 Korteweg 系统全局强解的存在性

本文致力于研究由 J.E Dunn 和 J.Serrin (1985) 推导的一般等温毛细流体模型的初边值问题，该模型可用作相变模型。我们将证明当 $\ln\rho_{0}$ 属于 Besov 空间 $B^{\N}_{2,\infty}(\R^{N})$ 时，具有不连续初始密度的局部和全局（在初值小性条件下）强解的存在性。主要困难在于证明与 Korteweg 系统相关的线性系统的新型极大值原理型估计，该证明基于利用与此线性系统相关的半群对 Besov 空间的刻画。还需指出的是，我们证明了在方程缩放意义下次临界的小性假设下全局强解的存在性，这使我们能够展示一族针对方程缩放具有大能量的初值，从而提供全局强解。特别是，据我们所知，首次展示了当 N=2 时某些大能量初值的全局强解存在性。本文最后引入了 Korteweg 系统的拟解概念（这一工具是在可压缩 Navier-Stokes 方程框架下开发的 \cite{arxiv,arxiv1,hal,cras1,cras2}），使我们能够改进先前的结果，并获得在 $B^{\N-1}_{2,\infty}$ 中具有大初始速度的全局强解存在性。作为推论，当 $N\geq2$ 时，我们得到了高度可压缩 Korteweg 系统的全局存在性（及唯一性）。