维度 $N\geq 2$ 下具有量子压力的Korteweg系统的全局强解

本文致力于证明在维度 $N\geq 2$ 下，由J.E Dunn和J.Serrin (1985) 导出的等温毛细流体模型（见\cite{fDS}）的全局强解的存在性，该模型可用作相变模型。我们将自己限制在所谓具有量子压力的可压缩Navier-Stokes系统的情况，这对应于考虑毛细系数 $\kappa(\rho)=\frac{\kappa_1}{\rho}$，其中 $\kappa_1>0$。在第一部分中，我们证明了对于大初始数据在有限时间内强解的存在性，并对寿命 $T^*$ 给出了精确的下方界。该界依赖于初始数据 $(\rho_0,v_0)$ 的范数。第二部分在于证明在毛细系数（其中 $\kappa_1=\mu^2$）和粘度张量（对应于粘性浅水情形 $-2\mu{\rm div}(\rho Du)$）的特定选择下全局强解的存在性。为此，我们推导了关于密度和有效速度 $v$ 的不同能量估计，确保强解可延拓至 $T^*$ 之外。主要困难在于控制真空，换言之估计 $\frac{1}{\rho}$ 的 $L^\infty$ 范数。证明主要依赖于De Giorgi \cite{DG} 引入的方法（另见Ladyzhenskaya等人在\cite{La}中关于抛物情形的论述），以获得具有不连续扩散系数的椭圆方程的正则性结果以及合适的bootstrap论证。