初始密度在 L^\infty 中且解属于 bmo^{-1}(\mathbb{R}^N) 的 Korteweg 系统的强解

本文研究在维数 N\geq 1 的临界空间中，当初始数据较小时 Korteweg 系统强解的局部存在性问题。更确切地说，初始动量 \rho_0 u_0 属于 \mbox{bmo}_{T}^{-1}(\mathbb{R}^N)（T>0），且初始密度 \rho_0 属于 L^\infty(\mathbb{R}^N) 并远离真空。该结果将所谓不可压缩 Navier-Stokes 方程的 Koch-Tataru 定理推广到 Korteweg 系统情形。同样有趣的是观察到密度上的任何初始激波都被瞬时正则化，因为对任意 t>0，密度 \rho(t,\cdot) 变为 Lipschitz 连续。我们还证明了在齐次 Besov 空间 (\dot{B}^{\frac{N}{2}-1}_{2,\infty} (\mathbb{R}^N) \cap \dot{B}^{\frac{N}{2}}_{2,\infty} (\mathbb{R}^N) \cap L^\infty(\mathbb{R}^N)) \times (\dot{B}^{\frac{N}{2}-1}_{2,\infty} (\mathbb{R}^N))^N 中，小初始数据 (\rho_0-1,\rho_0u_0) 的全局强解的存在性。该结果特别地允许在维数 N=2 时将不可压缩 Navier-Stokes 方程定义的 Oseen 解的概念推广到 Korteweg 系统，当动量 \rho_0 u_0 的涡度是 Dirac 质量 \alpha\delta_0 且 \alpha 足够小时。