初始密度属于$L^\infty(\mathbb{R}^N)$的可压缩Navier-Stokes方程的整体bmo$^{-1}(\mathbb{R}^N)$径向对称解

本文研究可压缩Navier-Stokes方程整体弱解的存在性问题,其中初始动量$\rho_0 u_0$属于$\mbox{bmo}^{-1}(\mathbb{R}^N)$($N= 2,3$)且为径向对称。更确切地说,我们处理所谓的粘性浅水系统,其中粘性系数满足$\mu(\rho)=\mu\rho$,$\lambda(\rho)=0$且$\mu>0$。我们进而证明了可压缩Navier-Stokes方程的类Koch-Tataru定理。此外,我们假设初始密度$\rho_0$仅在$L^\infty(\mathbb{R}^N)$中有界,这特别允许我们考虑具有激波的初始密度。进一步,我们表明若密度与速度之间的耦合足够强,则初始含激波的密度会瞬时正则化,即密度变为Lipschitz连续。该耦合通过所谓有效速度$v=u+2\mu\nabla\ln\rho$的正则性来表达。在我们的情况中$v_0$属于$L^2(\mathbb{R}^N)\cap L^\infty(\mathbb{R}^N)$,需重点指出,对初始数据的这一选择意味着我们在初始数据$(\rho_0,u_0)$具有无穷能量的框架下工作,这特别推广了\cite{V}的结果。类似地,我们也考虑维数$N=1$的情形,其中动量$\rho_0 u_0$属于$bmo^{-1}(\mathbb{R})$且无任何几何限制。\ 最后,我们证明了在$N=2,3$维中对大初值且初值径向对称并充分正则时强解的整体存在性(对应$\gamma$律压强)。