具有非线性密度依赖黏性的可压缩 Navier-Stokes 方程熵弱解的全局存在性

在本文中，我们大幅推广了由 Vasseur-Yu [Inventiones mathematicae (2016) 及 arXiv:1501.06803 (2015)] 与 Li-Xin [arXiv:1504.06826 (2015)] 分别（采用不同策略）获得的关于具有密度依赖黏性的可压缩 Navier-Stokes 系统熵弱解的全局存在性结果。更确切地说，我们能够考虑一个物理对称黏性应力张量 $\sigma=2\mu(\rho)\,{\mathbb{D}}(u)+\bigl(\lambda(\rho){\rm div}u -P(\rho)\bigr)\, {\rm Id}$，其中 ${\mathbb D}(u) = [\nabla u + \nabla^T u]/2$，其剪切与体积黏性（分别为 $\mu(\rho)$ 与 $\lambda(\rho)$）满足 BD 关系 $\lambda(\rho)=2(\mu'(\rho)\rho - \mu(\rho))$，以及压力定律 $P(\rho)=a\rho^\gamma$（其中 $a>0$ 为给定常数），适用于任意绝热常数 $\gamma>1$。非线性剪切黏性 $\mu(\rho)$ 对低密度与高密度满足某些上下界（我们的数学结果包含 $\mu(\rho)= \mu\rho^\alpha$ 且 $2/3 < \alpha < 4$ 与 $\mu>0$ 为常数的情形）。这回答了如 F. Rousset 在 Bourbaki 第 69 年（2016--2017，第 1135 号）中所提及的关于具有密度依赖黏性的可压缩 Navier-Stokes 方程的一个长期数学问题。