可压缩正压 Navier-Stokes 方程弱解的正则性

在周期边界条件下，针对具有常黏性系数的可压缩正压 Navier-Stokes 方程，本文在 $N=2,3$ 维情形证明了其弱解在小时间内的正则性与唯一性。本文不要求初始密度具有正下界，并假设压力律满足一个在 $P(\rho)=a\rho^{\gamma}$（其中 $\gamma>1$）时退化的条件（在三维情形，还需对 $\gamma$ 附加大小方面的条件）。本文第二部分致力于在黏性系数 $(\mu,\lambda)$ 假设为常数且其比值足够大（特别是 $0<\lambda<(5/4)\mu$）的条件下，研究方程在尺度变换下略次临界初始数据的爆破准则。更确切地说，我们证明在 $\rho$ 属于 $L^{\infty}((0,T)\times\T^{N})$ 的条件下，可以将唯一解延拓至 $T>0$ 之后。最后，我们证明只要密度在 $L^{\infty}(0,T,L^{(N+1+\e)\gamma}(\mathbb{T}^{N}))$ 中保持有界（其中 $\e>0$ 为任意小的数），环面 $\mathbb{T}^{N}$ 上的弱解就是光滑的。该结果可视为可压缩 Navier-Stokes 系统的 Prodi-Serrin 定理（见 \cite{prodi} 和 \cite{serrin}）。