1D 随机 Navier-Stokes-Korteweg 方程的全局唯一可解性

我们证明了由随机乘性噪声驱动的一维 Navier-Stokes-Korteweg 方程的全局良好可解性。该分析针对一般情况下的表面张力和黏性系数 $k(\rho)= \rho^\beta, \, \beta \in \mathbb{R},\, \mu(\rho)=\rho^\alpha, \, \alpha \ge 0,$ 进行，系数之间不存在通过 BD 关系的耦合。通过强路径解的正则性类中获得全局存在性和唯一性，这些解既是 PDE 中的强解，也是概率意义上的解。我们首先利用多层近似方案和随机紧致性 argument 来建立任意 $\alpha$ 和 $\beta$ 的局部良好可解性结果。随后，我们应用 BD 熵方法，该方法控制密度真空状态，允许进行扩展 argument。因此，在不存在真空且满足强共轭性条件 $2\alpha-4 \le \beta \le 2 \alpha-1$ 的范围内获得全局良好可解性。作为副产品，我们也涵盖了确定性情形 $\mathbb{F}=0,$ 该情形据我们所知在流体力学文献中同样是一个开放问题。