高阶准地转型方程的全局适定性与长时间动力学

在本文中，我们研究了一类高阶粘性准地转型方程。该方程在文献[11]中作为带科氏力的奇异扰动 Navier-Stokes-Korteweg 系统在马赫数、罗斯贝数和韦伯数以相同速率趋于零时的极限动力学导出。本文的目的有两个。首先，我们研究该模型在整个空间 $\R^2$ 上的适定性：我们证明它在 $H^s$（任意 $s\geq3$）中全局时间适定。有趣的是，我们展示了该方程具有两个层次的能量估计，由此可获得具有不同正则性（即 $H^3$ 和 $H^4$ 正则性）弱解的存在唯一性；这一事实可视为原始系统所谓 BD-熵结构 的残余。在论文第二部分，我们研究这些解的长时间行为。我们证明它们收敛到对应线性抛物型方程具有相同初值和外力的解。我们的证明基于线性和非线性问题解的色散估计。