关于乘性噪声驱动的受罚向列相液晶的一些结果

本文证明了关于耦合高度非线性随机偏微分方程 (PDEs) 解的存在性和唯一性的若干结果。这些方程由随机外力影响下的向列相液晶动力学所激发。首先，我们证明了全局弱解的存在性（在随机分析和 PDEs 双重意义上）。我们展示了二维域中解的轨道唯一性。其次，我们建立了局部最大解的存在性和唯一性，该解在 PDEs 和随机分析双重意义上均为强解。在二维情形下，我们证明该解是全局的。与确定性背景下的几项工作相比，我们将 Ginzburg-Landau 函数 ${1}_{\lvert \mathbf{n}\rvert \le 1}(\lvert \mathbf{n}\rvert^2-1)\mathbf{n}$ 替换为一般多项式 $f(\mathbf{n})$，并给出了多项式 $f$ 使上述结果成立的充分条件。作为我们研究的副产品，我们提出了一种基于不动点论证的通用方法，用于建立具有满足局部 Lipschitz 条件（涉及两个不同 Banach 空间的范数）系数的抽象随机演化方程的局部最大解的存在性和唯一性。该通用方法可用于处理多种随机流体动力学模型，如 Navier-Stokes 方程、磁流体动力学 (MHD) 方程，以及 Navier-Stokes 方程及其 MHD 对应物的 $\alpha$-模型。