4阶 Schr"odinger 算子在 $\mathbb{R}^2$ 上的波算子 $L^p$ 有界性，I. 正规情况

我们证明了关于$\mathbb{R}^2$上势函数为实数的四阶 Schr"odinger 算子 $H = \Delta^2 + V (x)$的波算子在散射理论中的 $L^p$ 有界性。满足以下条件时成立：$\langle x \rangle^3 V(x) \in L^{\frac43}(\mathbb{R}^2)$，$\langle x \rangle^{10+\varepsilon} V(x) \in L^1 (\mathbb{R}^2)$，其中$\varepsilon>0$，$\langle x \rangle=(1+|x|^2)^{\frac12}$。若H在零点处为正规的，即不存在满足 $(\Delta^2 + V(x))u(x)=0$ 且 $\langle x \rangle^{-1} u(x) \in L^\infty(\mathbb{R}^2)$ 的非平凡解，且若H无正特征值，则波算子在 $L^p (\mathbb{R}^2)$ 中有界，$1<p<\infty$。这将函数 $f(H)$ 的 $L^p$ 映像性质归约为傅里叶乘子 $f(\Delta^2)$ 的相应性质。