三维空间中四阶薛定谔算子波算子的反例与弱(1,1)估计

本文致力于研究$\mathbb{R}^3$上与四阶薛定谔算子$H=\Delta^2+V$相关的波算子$W_\pm(H,\Delta^2)$的$L^p$有界性。我们考虑实势满足对某些$\mu>0$有$|V(x)|\lesssim \langle x\rangle^{-\mu}$。Goldberg与Green近期的工作\cite{GoGr21}已证明在$\mu>9$且零为$H$的正则点条件下，波算子$W_\pm(H,\Delta^2)$在$L^p(\mathbb{R}^3)$上对所有$1<p<\infty$有界。本文旨在以两种重要方式进一步建立$W_\pm(H,\Delta^2)$的端点估计。首先，我们给出反例说明即便对于非零紧支撑势$V$，波算子$W_\pm(H,\Delta^2)$在端点空间$L^1(\mathbb{R}^3)$与$L^\infty(\mathbb{R}^3)$上也无界。其次，在零为正则点且$\mu>11$的情形下，我们建立了波算子$W_\pm(H,\Delta^2)$及其对偶算子$W_\pm(H,\Delta^2)^*$的弱(1,1)估计。这些估计关键依赖于齐次空间$(X,d\omega)$上具加倍测度$d\omega$的Calderón-Zygmund奇异积分理论。