具有阈值奇性的薛定谔算子波算子的 $L^p$ 有界性

设 $H=-\Delta+V$ 为 $L^2(\mathbb R^n)$（$n > 4$）上具有实值势 $V$ 的薛定谔算子，并设 $H_0=-\Delta$。若 $V$ 衰减足够快，已知当零不是特征值时，波算子 $W_{\pm}=s-\lim_{t\to \pm\infty} e^{itH}e^{-itH_0}$ 对所有 $1\leq p\leq \infty$ 在 $L^p(\mathbb R^n)$ 上有界；当零是特征值时，在 $1<p<\frac{n}{2}$ 上有界。我们通过直接考察首项积分核证明，这些波算子在 $L^1(\mathbb R^n)$ 上也是有界的。此外，若对所有特征函数 $\phi$ 均有 $\int_{\mathbb R^n} V(x) \phi(x) \, dx=0$，则波算子对 $1\leq p<n$ 是 $L^p$ 有界的。若进一步满足 $\int_{\mathbb R^n} xV(x) \phi(x) \, dx=0$，则波算子对 $1\leq p<\infty$ 有界。