论具有阈值特征值的四维 Schrödinger 算子波算子的 $L^p$ 有界性

设 $H=-\Delta+V$ 为 $L^2(\mathbb R^4)$ 上具有实值势 $V$ 的 Schrödinger 算子，并设 $H_0=-\Delta$。如果 $V$ 具有充分的逐点衰减性，已知当零不是特征值或共振时，波算子 $W_{\pm}=s-\lim_{t\to \pm\infty} e^{itH}e^{-itH_0}$ 对所有 $1\leq p\leq \infty$ 在 $L^p(\mathbb R^4)$ 上有界；当零是特征值但不是共振时，在 $\frac43<p<4$ 上有界。我们证明了在后一种情况下，通过直接检查主导项的积分核，波算子在 $1\leq p\leq \frac43$ 上也在 $L^p(\mathbb R^4)$ 上有界。此外，如果对于所有零能量特征函数 $\psi$ 有 $\int_{\mathbb R^4} xV(x) \psi(x) \, dx=0$，则波算子在 $1 \leq p<\infty$ 上在 $L^p$ 上有界。