关于具有阈值奇异性的 Schr\"odinger 算子的波算子的 $L^p$ 有界性的评注

我们考虑当 H 为例外类型时，即对于某个 $1/2<s<\delta-1/2$ 有 $\Ng=\{u \in \ax^{-s} L^2(\R^m) \colon (1+ (-\lap)^{-1}V)u=0 \}\not=\{0\}$，散射理论的波算子 $W_\pm$ 在 Lebesgue 空间 $L^p(\R^m)$ 中的连续性性质，其中 Schr\"odinger 算子 $H=-\lap + V$ 在 $\R^m$ 上，$|V(x)|\leq C\ax^{-\delta}$ 对某个 $\delta>2$ 成立。Goldberg 和 Green 最近对 $m\geq 5$ 证明了 $W_\pm$ 在 $L^p(\R^m)$ 中对 $1\leq p<m/2$ 有界，如果所有 $\f\in \Ng$ 满足 $\int_{\R^m} V\f dx=0$ 则对 $1\leq p<m$ 同样成立，并且如果另外 $\int_{\R^m} x_i V\f dx=0$，$i=1, \dots, m$，则对 $1\leq p<\infty$ 成立。我们使关于 $p>m/2$ 的结果更精确，并特别证明这些条件对于 $W_\pm$ 的所述性质也是必要的。我们还证明，对于 $m=3$，$W_\pm$ 在 $L^p(\R^3)$ 中对 $1<p<3$ 有界，并且当且仅当所有 $\f\in \Ng$ 同时满足 $\int_{\R^3}V\f dx=0$ 和 $\int_{\R^3} x_i V\f dx=0$，$i=1, 2, 3$ 时，对 $1<p<\infty$ 同样成立。