经典与高阶薛定谔算子波算子$L^p$有界性的反例

我们考虑 $n$ 维空间中的高阶薛定谔算子 $H=(-\Delta)^m+V(x)$，其中势 $V$ 为实值，且当 $n>4m-1$、$m\in \mathbb N$ 时。我们证明对于任意 $\frac{2n}{n-4m+1}<p\leq \infty$ 与 $0\leq \alpha <\frac{n+1}{2}-2m-\frac{n}p$，存在实值、紧支撑势 $V\in C^{\alpha}(\mathbb R^n)$，使得波算子 $W^{\pm}$ 在 $L^p(\mathbb R^n)$ 上无界。作为我们分析的结果，我们证明通常的二阶薛定谔算子 $-\Delta+V$ 的波算子在 $n>3$ 且 $\frac{2n}{n-3}<p\leq \infty$ 时，对于充分不可微的势 $V$ 在 $L^p(\mathbb R^n)$ 上无界，并展示了 $L^{p'}\to L^p$ 色散估计的失效，这或许具有独立意义。