线上双薛定谔算子波算子的 $L^p$ 有界性

本文致力于建立线上与双薛定谔算子 $H=\Delta^{2}+V(x)$ 相关的波算子 $W_\pm=W_\pm(H, \Delta^2)$ 的若干类 $L^p$ 有界性。给定合适的衰减势 $V$，我们首先证明波算子与对偶波算子对所有 $1<p<\infty$ 在 $L^p(\mathbb{R})$ 上有界：$$\|W_\pm f\|_{L^p(\mathbb{R})}+\|W_\pm^* f\|_{L^p(\mathbb{R})}\lesssim \|f\|_{L^p(\mathbb{R})},$$并进一步推广到带一般偶 $A_p$ 权 $w$ 的加权空间 $L^p(\mathbb{R},w)$ 上的 $L^p$ 有界性以及 Sobolev 空间 $W^{s,p}(\mathbb{R})$ 上的有界性。对于极限情形，我们证明 $W_\pm$ 从 $L^1(\R)$ 到 $L^{1,\infty}(\R)$ 有界，且从 Hardy 空间 \H^1(\R) 到 $L^1(\R)$ 有界。这些结果尤其无论零能量是 $H$ 的正则点还是共振点均成立。我们还得到若零是 $H$ 的正则点或第一类共振点，则 $W_\pm$ 从 $L^\infty(\R)$ 到 $\BMO(\R)$ 有界。接着，我们证明即使零是 $H$ 的正则点，$W_\pm$ 在 $L^1(\mathbb{R})$ 与 $L^\infty(\mathbb{R})$ 上均非有界。此外，若零是 $H$ 的第二类共振点，则一般地 $W_\pm$ 甚至不从 $L^\infty(\R)$ 到 $\BMO(\R)$ 有界。特别地，我们指出我们的结果给出了正则情形下所有 $1\le p\le \infty$ 波算子 $L^p$ 有界性成立的完整图景。最后，作为应用，我们推导了传播子 $e^{-itH}P_{\mathrm{ac}}(H)$ 在 $(1/p,1/q)$ 属于 $\mathbb{R}^2$ 某区域时的 $L^p$-$L^q$ 衰减估计，并建立了谱乘子 $f(H)$ 的 H"ormander 型 $L^p$ 有界性定理。