零奇异点下高阶 Schrodinger 算子波算子的 $L^p$ 有界性（低奇数维情况）

本文研究了高阶 Schrodinger 算子 $H = (-\Delta)^m + V$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上的波算子 $L^p$ 界限，其中 $m \ge 2$，$V$ 为实值衰减势。我们的主要目标是在包含所有类型零共振奇异点的情形下，确切建立 $n \in [1, 4m-1]$ 的奇数维数下，波算子 $W_\pm(H; (-\Delta)^m)$ 的 $L^p$ 有界性。具体而言，对于 $1 \le n \le 4m-1$ 的奇数维数，存在 $m_n$ 种类型的零共振，以及一种关键类型 $k_c$（取决于 $n$ 与 $m$）。若零点是 $H$ 的正则点，或为 $1 \le \mathbf{k} \le k_c$ 的第 $\mathbf{k}$ 类共振，则波算子 $W_\pm(H; (-\Delta)^m)$ 在 $L^p(\mathbb{R}^n)$ 上有界，其中 $1 < p < \infty$。若零点为 $k_c < \mathbf{k} \le m_n$ 的第 $\mathbf{k}$ 类共振，则 $W_\pm(H; (-\Delta)^m)$ 的 $p$ 有界性范围缩小至 $1 < p < p_{\mathbf{k}}$，其中 $$p_{\mathbf{k}} = \frac{n}{n - 2m + \mathbf{k} + k_c - 1}.$$ 此外，若零点为 $H$ 的特征值（即 $\mathbf{k} = m_n + 1$），则 $W_\pm(H; (-\Delta)^m)$ 在 $L^p(\mathbb{R}^n)$ 上有界，其中 $1 < p < \frac{2n}{n - 1}$。进一步地，若 $k_c < \mathbf{k} \le m_n$，则 $W_\pm(H; (-\Delta)^m)$ 在 $p_{\mathbf{k}} < p \le \infty$ 的所有 $p$ 值上无界；若零点为特征值且存在满足 $H\phi = 0$ 的非零解 $\phi \in \bigcap_{s < -\frac{1}{2}} L^{2}_{s}(\mathbb{R}^n) \setminus L^2(\mathbb{R}^n)$（称为 $p$-波共振），则 $W_\pm(H; (-\Delta)^m)$ 在 $\frac{2n}{n - 1} < p \le \infty$ 的所有 $p$ 值上无界。本文证明的关键思想是将 $L^p$ 无界性归约为在加权 $L^2$ 空间中建立 $e^{itH}P_{ac}(H)$ 时间衰减估计的最优性。