矩阵薛定谔方程波算子的$L^{p}$有界性

我们证明，在半直线上具有一般自伴边界条件的$n \times n$矩阵薛定谔方程，其波算子在空间$L^p(\mathbb R^+, \mathbb C^n), 1 < p < \infty$中有界，其中矩阵势$V$为缓慢衰减的自伴矩阵势，满足$\int_{0}^{\infty }\, (1+x) |V(x)|\, dx < \infty.$此外，假设$\int_{0}^{\infty }\, (1+x^\gamma) |V(x)|\, dx < \infty, \gamma > \frac{5}{2},$且散射矩阵在零能量与无穷能量处为单位矩阵，我们证明波算子在$L^1(\mathbb R^+, \mathbb C^n)$与$L^\infty(\mathbb R^+, \mathbb C^n)$中有界。我们还证明，直线上$n\times n$矩阵薛定谔方程的波算子在空间$L^p(\mathbb R, \mathbb C^n), 1 < p < \infty$中有界，假设扰动由原点处的点相互作用与势$\mathcal V$组成，且满足$\int_{-^{\infty}}^{\infty }\, (1+|x|)\, |\mathcal V(x)|\, dx < \infty.$进一步，假设$\int_{-\infty}^{\infty }\, (1+|x|^\gamma) |\mathcal V(x)|\,dx < \infty, \gamma > \frac{5}{2},$且散射矩阵在零能量与无穷能量处为单位矩阵，我们证明波算子在$L^1(\mathbb R, \mathbb C^n)$与$L^\infty(\mathbb R, \mathbb C^n)$中有界。我们由半直线上$2n\times 2n$矩阵薛定谔方程的结果导出直线上$n\times n$矩阵薛定谔方程的结果。