$\mathbb{R}^3$上具有零共振的四阶Schrödinger算子波算子的$L^p$有界性

设$H = \Delta^2 + V$为$\mathbb{R}^3$上带有实值快衰减势$V$的四阶Schrödinger算子。若零既不是$H$的共振态也不是特征值，则近来已证明波算子$W_\pm(H, \Delta^2)$对所有$1 < p < \infty$在$L^p(\mathbb{R}^3)$上有界，而在端点$p=1$和$p=\infty$处无界。本文进一步建立$W_\pm(H, \Delta^2)$在零能量阈值处呈现各类奇异性的$L^p$有界性。我们首先证明在第一类共振情形下$W_\pm(H, \Delta^2)$对所有$1 < p < \infty$在$L^p(\mathbb{R}^3)$上有界，继而证明在第二类共振情形下其对所有$1 < p < 3$在$L^p(\mathbb{R}^3)$上有界，但若$3 \le p \le \infty$则无界。在第三类共振情形下，我们也证明$W_\pm(H, \Delta^2)$对所有$1<p<3$在$L^p(\mathbb{R}^3)$上有界，且通常地对任意$3\le p\le\infty$在$L^p(\R^3)$上无界。此外还证明，若附加$H$具有零特征值、无$p$波零共振且所有零特征函数在$L^2(\R^3)$中与$x_ix_jx_kV$正交（对所有$i,j,k=1,2,3$，其中$x=(x_1,x_2,x_3)\in \R^3$），则$W_\pm(H, \Delta^2)$对所有$3\le p<\infty$在$L^p(\R^3)$上有界。这些结果精确刻画了$\mathbb{R}^3$中$W_\pm(H, \Delta^2)$的$L^p$有界性在零能量阈值各类奇异性下的成立情况（端点情形$p=1,\infty$的某些例外除外）。作为应用，我们还推导了具有零共振奇异性的四阶Schrödinger方程与Beam方程的$L^p$-$L^q$衰减估计。