图上 Kazdan-Warner 型方程的存在性结果

本文受 Huang-Lin-Yau (Commun. Math. Phys. 2020)、Sun-Wang (Adv. Math. 2022) 和 Li-Sun-Yang (Calc. Var. Partial Differential Equations 2024) 工作的启发，基于 Brouwer 度理论研究了有限连通图上的 Kazdan-Warner 型方程的存在性。具体而言，我们考虑方程 \begin{equation*} -\Delta u=h(x)f(u)-c, \end{equation*} 其中 $h$ 是定义在顶点集 $V$ 上的实值函数，$c\in\mathbb{R}$ 且 \begin{equation*} f(u)= \left(1-\displaystyle\frac{1}{1+u^{2n}}\right)e^u \end{equation*} 其中 $n\in \mathbb{N}^*$。与以往研究不同，本文的主要难点在于证明相应方程仅有三个常数解，该证明基于精细的分析与图的连通性，而这些在以往文献中尚未得到广泛探讨。