图上基于拓扑度方法的 Tzitzéica 方程的存在性结果

我们在任意连通有限图 $G=(V, E)$ 上推导了 Tzitzéica 方程 \begin{equation*} -\Delta u + h_1(x)e^{Au} + h_2(x)e^{-Bu}=0 \end{equation*} 及广义 Tzitzéica 方程 \begin{equation*} -\Delta u + h_1(x)e^{Au}(e^{Au}-1)+h_2(x)e^{-Bu}(e^{-Bu}-1)=0 \end{equation*} 解的存在性结果。此处，$h_1(x)>0$、$h_2(x)>0$ 是 $V$ 上的两个给定函数，$A, B>0$ 是两个常数。我们的方法涉及计算拓扑度，并利用该度与相关泛函的临界群之间的联系。