图上 Bogomol'nyi 方程解的存在性与唯一性

设 $G=(V,E)$ 为一个连通有限图。我们研究其上的 Bogomol'nyi 方程 \begin{equation*} \Delta u= \mathrm{e}^{u}-1 +4 \pi \sum_{s=1}^{k} n_s \delta_{z_{s}} \quad \text { on } \quad G, \end{equation*} 其中 $z_1, z_2,\dots, z_k$ 是图上任意选取的不同顶点，$n_j$ 为正整数，$j=1,2,\cdots, k$，而 $\delta_{z_{s}}$ 是位于 $z_s$ 处的 Dirac 质量。我们得到了该 Bogomol'nyi 方程解的存在性与唯一性的一个充要条件。