图上具有不定权的一类拟线性椭圆方程

设 $G=(V, E)$ 是一个连通的局部有限图，其顶点集为 $V$，边集为 $E$。令 $\Omega\subset V$ 为有界域。考虑图 $G$ 上的如下拟线性椭圆方程 $$\left \{ \begin{array}{lcr} -\Delta_{p}u= \lambda K(x)|u|^{p-2}u+f(x,u), \ \ x\in\Omega^{\circ}, u=0, \ \ x\in\partial \Omega, \\ \end{array} \right.$$ 其中 $\Omega^{\circ}$ 和 $\partial \Omega$ 分别表示 $\Omega$ 的内部和边界，$\Delta_{p}$ 是离散 $p$-Laplacian，$K(x)$ 是给定的可变号函数，$\lambda$ 为特征值参数，且 $f(x,u)$ 具有指数增长。我们证明了相应特征值问题主特征值的存在性和单调性。此外，我们还利用变分方法得到了一个正解的存在性。