图上波动方程解的存在性

设 $G=(V, E)$ 为有限加权图，$\Omega\subseteq V$ 为域且 $\Omega^\circ\neq\emptyset$。本文研究如下非齐次波动方程的初边值问题 \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &\partial_t^2 u(t,x)-\Delta_\Omega u(t,x)=f(t,x),\qquad&&(t,x)\in[0,\infty)\times \Omega^\circ,\\ &u(0,x)=g(x),\qquad&& x\in\Omega^\circ,\\ &\partial_tu(0,x)=h(x),\qquad&& x\in\Omega^\circ,\\ &u(t,x)=0,\qquad&&(t,x)\in[0,\infty)\times\partial \Omega, \end{aligned} \right. \end{equation*} 其中 $\Delta_\Omega$ 表示 $\Omega^\circ$ 上的 Dirichlet Laplacian。利用 Rothe 方法，我们证明上述波动方程具有唯一解。