关于半线性分数阶波动方程解的存在唯一性

设 $\Omega$ 是 $\mathbb R^d$ ($d=2,3$) 中的 $\mathcal C^2$ 有界域，并固定 $Q=(0,T)\times\Omega$，其中 $T\in(0,+\infty]$。本文我们考虑与半线性分数阶波动方程 $\partial_t^\alpha u+\mathcal A u=f_b(u)$ 在 $Q$ 中相关的Dirichlet初边值问题，其中 $1<\alpha<2$，$\partial_t^\alpha$ 对应于阶为 $\alpha$ 的Caputo分数阶导数，$\mathcal A$ 是椭圆算子，非线性项 $f_b\in \mathcal C^1( \mathbb R)$ 满足 $f_b(0)=0$ 且对某些 $b>1$ 有 $|f_b'(u)|\leq C|u|^{b-1}$。我们首先通过应用关联线性方程 $\partial_t^\alpha u+\mathcal A u=f(t,x)$ 在 $Q$ 中的一些性质，给出该问题局部弱解的定义。然后，我们对某些合适的 $b>1$ 值证明半线性分数阶波动方程局部解的存在性。此外，我们得到了解的存在时间相对于初始数据的显式依赖关系，这使得小初始数据允许更长的存在时间。