关于带分数扩散的 KPZ 方程：整体正则性与存在性结果

本工作中我们分析如下分数拟线性问题的解的存在性，$$(P) \left\{ \begin{array}{rcll} u_t+(-\Delta )^s u &=&|\nabla u|^{\alpha}+ f &\inn \Omega_T\equiv\Omega\times (0,T),\\ u(x,t)&=&0 & \inn(\mathbb{R}^N\setminus\Omega)\times [0,T),\\ u(x,0)&=&u_{0}(x) & \inn\Omega,\\ \end{array}\right.$$ 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^N$ 中的 $C^{1,1}$ 有界域，$N> 2s$ 且 $\frac{1}{2}<s<1$。我们将假设 $f$ 与 $u_0$ 为满足稍后指定的附加假设的非负函数。在对 $f$ 作一定正则性假设下，我们将证明问题 $(P)$ 在 $\alpha<\dfrac{s}{1-s}$ 时解的存在性，以及当 $\alpha>\dfrac{1}{1-s}$ 时此类解的不存在性。此行为清晰地展现了与局部情形的深刻差异。