梯度相对于 Hardy 势具有临界增长的分数阶 KPZ 方程

本文研究分数阶拟线性问题的正解存在性： $$\left\{ \begin{array}{rcll} (-\Delta )^s u &=&\lambda \dfrac{u}{|x|^{2s}}+ |\nabla u|^{p}+ \mu f &\inn \Omega,\\ u&>&0 & \inn\Omega,\\ u&=&0 & \inn(\mathbb{R}^N\setminus\Omega), \end{array}\right.$$ 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^N$ 中的 $C^{1,1}$ 有界域，$N> 2s, \mu>0$，$\frac{1}{2}<s<1$，且 $0<\lambda<\Lambda_{N,s}$ 如式 (3) 所定义。我们假设 $f$ 为带有附加假设的非负函数。正如我们将看到的，与 $\lambda=0$ 的情形存在深刻差异。更确切地说，若 $\lambda>0$，则存在临界指数 $p_{+}(\lambda, s)$，使得当 $p> p_{+}(\lambda,s)$ 时不存在正解。此外，$p_{+}(\lambda,s)$ 是最优的，原因在于若 $p<p_{+}(\lambda,s)$，则对合适的数据与充分小的 $\mu$ 存在正解。