一类涉及临界指数的多参数半正分数阶拉普拉斯问题

在本文中，我们证明了当正参数 $\lambda$ 与 $\mu$ 属于某范围时，如下类型的非局部半正问题至少存在一个正解 $$(P_\lambda^\mu)\left\{ \begin{array}{lll} (-\Delta)^s u&=& \lambda(u^{q}-1)+\mu u^r \mbox{ in } \Omega\\ u&>&0 \mbox{ in } \Omega\\ u&\equiv &0 \mbox{ on }{\mathbb R^N\setminus\Omega}. \end{array}\right.$$ 此处 $\Omega\subset\mathbb R^N$ 假设为具有光滑边界的有界开集，$s\in (0,1), N> 2s$ 且 $0<q<1<r\leq \frac{N+2s}{N- 2s}.$ 证明依赖于对 $(P_\lambda^0)$ 构造正下解（当 $\lambda>\lambda_0$ 时）。现在对每个 $\lambda>\lambda_0$，对所有充分小 $0<\mu<\mu_{\lambda}$，我们利用变分法建立 $(P_\lambda^\mu)$ 至少一个正解的存在性。此外在次临界情形，即 $1<r<\frac{N+2s}{N-2s}$ 时，我们通过山路引理证明了第二个正解的存在性。