通过下-上解方法求不定半正问题的正解

设 $\Omega\subset\mathbb{R}^{N}$，$N\geq1$，为光滑有界区域，并设 $m:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ 为可能变号的函数。我们研究半正问题 $-\Delta u=\lambda m(x)(f(u)-k)$ 在 $\Omega$ 内，$u=0$ 在 $\partial\Omega$ 上的正解的存在性，其中 $\lambda,k>0$ 且 $f$ 或者在无穷远处是次线性的且 $f(0)=0$，或者 $f$ 在 $0$ 处有奇点。我们证明了，只要 $m$ 的负部分适当小，对于特定的 $\lambda$ 范围即存在正解。我们的主要工具是下-上解方法，并结合了一些尺度变换性质。