关于含有符号变化非线性函数的半线性 Robin 问题解的重数

本文研究了 Robin 问题的解的存在性与重数，即\n\begin{equation*} \begin{cases} -\Delta u = \lambda f(u) & \text{in } \Omega, \frac{\partial u}{\partial \nu} + \gamma u=0 & \text{on } \partial\Omega, \end{cases} \end{equation*}\n其中 $\Omega\subset \mathbb{R}^N$ ($N\geq 1$) 为光滑有界域，$\lambda, \gamma>0$。我们的主要假设是 $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 为局部 Lipschitz 函数，可能为正负变化，使得 $f(s)>0$ 对每个 $s\in (\alpha,\beta)$ 成立，其中 $0<\alpha<\beta$ 为 $f$ 的两个零。没有任何进一步的条件，我们建立了两个非负解的存在，其最大值为 $(\alpha,\beta)$ 当 $\lambda$ 足够大时。此外，我们分析了该 Robin 问题解集的极限行为，表明当 $\gamma\to 0$ 时，它退化为关联 Neumann 问题的解集，而当 $\gamma\to\infty$ 时，它退化为关联 Dirichlet 问题的解集。