椭圆问题带 Robin 边界条件解的渐近行为

本文研究了当 $\beta \to 0$ 时，正解的渐近行为。我们考察了半线性椭圆 Robin 问题\n\begin{equation*}\n\begin{cases}\n-\Delta u = u^p, & \text{在 } \Omega,\nu\n u > 0, & \text{在 } \Omega,\nu\n \frac{\partial u}{\partial \nu} + \beta u = 0, & \text{在 } \partial \Omega,\n\end{cases}\n\end{equation*}\n其中 $p \ge 0$，$\beta > 0$，$\Omega$ 为有界光滑域。我们将证明，对所有 $p\ge0$，解 $u_\beta$ 在 $\beta\to0$ 时像常数一样行为。然而，这一常数的大小强烈取决于 $p$ 的值。具体而言：\n\begin{itemize}\n\item 若 $0 \le p < 1$，$u_\beta$ 在 $\beta \to 0$ 时在 $\Omega$ 中一致发散。\n\item 若 $p=1$（特征值问题），$u_\beta$ 收敛于常数。\n\item 若 $p>1$，$u_\beta$ 在 $\beta \to 0$ 时一致收敛于零。\n\end{itemize}\n在临界和超临界情形 $p \ge \frac{N+2}{N-2}$ 时，解的存在性事先无法保证。若 $\Omega$ 为球形且 $0<\beta<\frac{2}{p-1}$，我们证明存在径向正解。