Robin 边值问题解的临界点

本文证明了稳定解的 Robin 问题唯一临界点。考虑问题 \n$$\begin{cases} -\Delta u=f(u)&\text{在 }\Omega\\ u>0&\text{在 }\Omega\\ \partial_\nu u+\beta u=0&\text{在 }\partial\Omega, \end{cases}$$\n其中 $\Omega\subseteq\mathbb{R}^2$ 为光滑有界域，边界曲率严格为正，$f\ge0$ 为光滑函数，$\beta>0$。此外，当 $\beta$ 较大时，只要域不再凸（即使其非常接近凸），结果也会失败：在这种情况下，可以找到具有任意多个临界点的解。