粗糙区域上椭圆方程的Robin问题：Hölder正则性、Green函数与调和测度

设 $n\ge 2$ 且 $s\in (n-2,n)$。假设 $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ 是一个具有 $s$-Ahlfors 正则边界的单边有界非切向可达区域，且 $\sigma$ 是 $\Omega$ 的边界 $\partial \Omega$ 上的曲面测度。设 $\beta$ 是 $\partial \Omega$ 上的一个非负可测函数，满足 $\beta\in L^{q_0}(\partial \Omega,\sigma)~\text{其中}~ q_0 \in(\frac{s}{s+2-n},\infty]~\text{且}\ \beta\ge a_0~\text{在}~E_0\subset \partial \Omega$ 上，其中 $a_0$ 是一个给定的正常数，$E_0\subset \partial \Omega$ 是一个 $\sigma$-可测集且 $\sigma(E_0)>0$。在本文中，对于任意 $f\in L^p(\partial \Omega,\sigma)$ 且 $p\in(s/(s+2-n),\infty]$，我们获得了如下 Robin 问题弱解的存在唯一性、全局 Hölder 正则性以及边界 Harnack 不等式 $$\begin{cases} -\mathrm{div}(A\nabla u) = 0~~&\text{在}~\Omega~\text{中},\\ A\nabla u\cdot \boldsymbol{\nu}+\beta u = f~~&\text{在}~\partial \Omega~\text{上}, \end{cases}$$ 其中系数矩阵 $A$ 是实值、有界且可测的，并满足一致椭圆性条件，而 $\boldsymbol{\nu}$ 表示 $\partial\Omega$ 的单位外法向量。此外，我们建立了与该 Robin 问题相关的 Green 函数的存在性、逐点上界估计以及 Hölder 正则性。作为应用，我们进一步证明了与该 Robin 问题相关的调和测度与曲面测度 $\sigma$ 是相互绝对连续的，并在小尺度上提供了相互绝对连续性的定量刻画。这些结果通过弱化 David 等人 [arXiv: 2410.23914] 中 $\beta$ 为给定正常数的假设，推广了他们建立的相应结果。