测度框架下分数阶椭圆方程的边界爆破解

设 $\alpha\in(0,1)$，$\Omega$ 为 $R^N$ ($N\ge 2)$ 中具有 $C^2$ 边界 $\partial\Omega$ 的有界开区域，$\omega$ 为 $\partial\Omega$ 上的 Hausdorff 测度。我们记 $\frac{\partial^\alpha \omega}{\partial \vec{n}^\alpha}$ 为一个测度 $$\langle\frac{\partial^\alpha \omega}{\partial \vec{n}^\alpha},f\rangle=\int_{\partial\Omega}\frac{\partial^\alpha f(x)}{\partial \vec{n}_x^\alpha} d\omega(x),\quad f\in C^1(\bar\Omega),$$ 其中 $\vec{n}_x$ 为点 $x\in\partial\Omega$ 处的单位外法向量。本文证明问题 $$\begin{array}{lll} (-\Delta)^\alpha u+g(u)=k\frac{\partial^\alpha \omega}{\partial \vec{n}^\alpha}\quad & {\rm in}\quad \bar\Omega,\\[2mm] \phantom{(-\Delta)^\alpha +g(u)} u=0\quad & {\rm in}\quad \Omega^c \end{array}$$ 在假设 $k>0$、$(-\Delta)^\alpha$ 表示 $\alpha\in(0,1)$ 的分数拉普拉斯算子、且 $g$ 为满足额外条件的非递减函数时，存在唯一弱解 $u_k$。我们证明该弱解是 \begin{array}{lll} \ \ \ (-\Delta)^\alpha u+g(u)=0\quad & {\rm in}\quad \Omega,\\[2mm] \phantom{------\} \ u=0\quad & {\rm in}\quad R^N\setminus\bar\Omega,\\[2mm] \phantom{} \lim_{x\in\Omega,x\to\partial\Omega}u(x)=+\infty. \end{array} 的经典解。