涉及区域分数阶拉普拉斯的狄利克雷椭圆问题

本文中，我们考虑涉及区域分数阶拉普拉斯的椭圆方程的解 \begin{equation}\label{0} \arraycolsep=1pt \begin{array}{lll} \displaystyle (-\Delta)^\alpha_\Omega u=f \qquad & {\rm in}\quad \Omega,\[2mm] \phantom{ (-\Delta)^\alpha } \displaystyle u=g\quad & {\rm on}\quad \partial \Omega, \end{array} \end{equation} 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^N$ ($N\ge 2$) 中具有 $C^2$ 边界 $\partial\Omega$ 的有界开区域，$\alpha\in(\frac12,1)$，算子 $(-\Delta)^\alpha_\Omega$ 表示区域分数阶拉普拉斯。我们证明当 $g\equiv0$ 时，问题 (\ref{0}) 在 $f\in L^2(\Omega)$、$f\in L^1(\Omega, \rho^\beta dx)$ 以及 $f\in \mathcal{M}(\Omega,\rho^\beta)$ 情形下存在唯一弱解，这里 $\rho(x)={\rm dist}(x,\partial\Omega)$，$\beta=2\alpha-1$，且 $\mathcal{M}(\Omega,\rho^\beta)$ 是所有满足 $\int_\Omega \rho^\beta d|\nu|<+\infty$ 的拉东测度 $\nu$ 构成的空间。最后，我们针对具有一般边界数据 $g$ 的 (\ref{0}) 的经典解给出了一个分部积分公式。