分数阶拉普拉斯算子的 Dirichlet 问题：直至边界的正则性

我们研究了分数阶拉普拉斯算子 Dirichlet 问题解直至边界的正则性。我们证明，如果 $u$ 是 $(-\Delta)^s u = g$ 在 $\Omega$ 中的解，且在 $\R^n\setminus\Omega$ 中 $u \equiv 0$，其中 $s\in(0,1)$ 且 $g \in L^\infty(\Omega)$，那么 $u$ 属于 $C^s(\R^n)$，且 $u/\delta^s|_{\Omega}$ 在边界 $\partial\Omega$ 处是 $C^\alpha$ 的，其中 $\alpha\in(0,1)$，$\delta(x)={\rm dist}(x,\partial\Omega)$。为此，我们发展了 Krylov 边界 Harnack 方法的分数阶类比。此外，在关于 $g$ 的进一步正则性假设下，我们获得了 $u$ 和 $u/\delta^s$ 的高阶 H"older 估计。即，$u$ 和 $u/\delta^s$ 在集合 $\{x\in\Omega : \delta(x)\geq\rho\}$ 中的 $C^\beta$ 范数分别由 $C\rho^{s-\beta}$ 和 $C\rho^{\alpha-\beta}$ 控制。这些正则性结果是我们证明分数阶拉普拉斯算子 Pohozaev 恒等式的关键工具 \cite{RS-CRAS,RS}。