具有非齐次狄利克雷数据的谱分数阶拉普拉斯算子：问题、难题与解

本文讨论方程 $(-\Delta )^s u=f$（其中 $0<s <1$）的正确提法。整个空间 $\mathbb R^n$（$n=1,2,3$）上分数阶拉普拉斯算子的定义通过傅里叶变换理解，参见例如 Lischke 等人（J. Comp. Phys., 2020）。然而真正的挑战出现在该方程被置于有界域 $\Omega$ 中且需要恰当边界条件以保证相应问题的适定性时。此处需指出，非齐次边界数据的情况直至近年才被关注。原因在于，在非局部设定下施加非零边界条件高度非平凡。至少存在两种不同的分数阶拉普拉斯定义，且关于它们之间关系的研究仍在进行。它们并不等价。我们研究的重点是对谱分数阶拉普拉斯算子的一种新的刻画。主要贡献之一涉及右端项 $f$ 为狄拉克 $\delta$ 函数的情况。为比较谱表述与 Riesz 表述下解的差异，我们考虑了一个非齐次分数阶狄利克雷问题。所提供的理论分析由模型数值试验支撑。