分数阶 Laplacian 的 Pohozaev 恒等式

本文证明了半线性 Dirichlet 问题 $(-\Delta)^s u = f(u)$ 在 $\Omega$ 内、$u \equiv 0$ 在 $\mathbb R^n\setminus\Omega$ 上的 Pohozaev 恒等式。其中，$s\in(0,1)$，$(-\Delta)^s$ 是 $\mathbb R^n$ 中的分数阶 Laplacian，$\Omega$ 是有界 $C^{1,1}$ 区域。为建立该恒等式，我们利用了如下事实：若 $u$ 是有界解，则 $u/\delta^s|_{\Omega}$ 在边界 $\partial\Omega$ 上具有 $C^\alpha$ 正则性，其中 $\delta(x)={\rm dist}(x,\partial\Omega)$。在分数阶 Pohozaev 恒等式中，函数 $u/\delta^s|_{\partial\Omega}$ 所起的作用相当于经典恒等式中的 $\partial u/\partial\nu$。令人惊讶的是，从一个非局部问题中，我们得到了一个包含完全局部边界项（即 $\partial\Omega$ 上的积分）的恒等式。作为该恒等式的一个应用，我们推导出了在星形区域中对于超临界非线性项不存在非平凡解的结论。