通过对数拉普拉斯算子重新审视分数阶泊松问题

我们分析在开有界集 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 中分数阶泊松问题族 $(-\Delta)^s u =f$（于 $\Omega$ 内），$u \equiv 0$（于 $\mathbb{R}^N\setminus \Omega$ 上），$s \in (0,1)$ 的解 $u_s$ 对 $s$ 的依赖性。在 $\Omega$ 为 $C^2$ 类且对某个 $\alpha>0$ 有 $f \in C^{\alpha}(\bar{\Omega})$ 的情形下，我们证明映射 $(0,1) \to L^\infty(\Omega)$，$s\mapsto u_s$ 为 $C^1$ 类，并依据 $f$ 的对数拉普拉斯算子刻画导数 $\partial_s u_s$。作为推论，在关于 $f$ 与 $\Omega$ 的适当假设下，我们导出解映射 $s \mapsto u_s$ 的点态单调性性质。此外，我们对任意有界域上的相应格林算子导出显式界，这些界即使是对于 $s=1$ 的情形（即局部狄利克雷问题 $-\Delta u = f$ 于 $\Omega$ 内，$u \equiv 0$ 于 $\partial \Omega$ 上）也是新的。