分数阶拉普拉斯算子及其扰动的精确格林公式

设 $\Omega$ 为 $\Bbb R ^n$ 中的开、光滑、有界子集。针对分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta )^a$（$a>0$），更一般地针对具有偶符号的 $2a$ 阶经典伪微分算子（$\psi$do）$P$，可将 $u(x)$ 的 Dirichlet 值 $\gamma _0^{a-1}u$ 与 Neumann 值 $\gamma _1^{a-1}u$ 分别定义为 $u/d^{a-1}$ 在 $\partial\Omega$ 上的迹与法向导数，其中 $d(x)$ 为 $x\in\Omega$ 到 $\partial\Omega$ 的距离；它们为 $P$ 定义了适定的边值问题。前文已给出一个格林公式，其中包含一般非局部项 $(B\gamma _0^{a-1}u,\gamma _0^{a-1}v)_{\partial\Omega }$，其中 $B$ 是 $\partial\Omega$ 上的一阶 $\psi$do。本文中，我们在 $P=L^a$ 的情形下由 $L$ 确定 $B$，其中 $L$ 为强椭圆二阶微分算子。一个特定结果是：当 $L=-\Delta$ 时 $B=0$；当 $L$ 等于 $-\Delta$ 加一阶项时，$B$ 为某个函数的乘法（即为局部的）。对于更一般的 $L$，$B$ 可以是非局部的。