分数阶泊松问题中非局部到局部过渡的可微性

令 $u_s$ 表示分数阶泊松问题 $$(-\Delta)^s u_s = f\quad\text{ in }\Omega,\qquad u_s=0\quad \text{ on }\mathbb{R}^N\setminus \Omega,$$ 的解，其中 $N\geq 2$ 且 $\Omega\subset \mathbb{R}^N$ 为 $C^2$ 类的有界区域。我们证明解映射 $s\mapsto u_s$ 在 $L^\infty(\Omega)$ 中于 $s=1$ 处可微，即在非局部到局部的过渡处可微。此外，利用对数拉普拉斯算子，我们将导数 $\partial_s u_s$ 刻画为一个边值问题的解。这补充了先前关于 $s$ 在开区间 $(0,1)$ 内可微性的已知结果。我们的证明基于渐近分析，以描述当 $s$ 趋于 1 时分数阶拉普拉斯算子非局部性的坍缩。我们还给出了 $s \in (0,1)$ 时 $\partial_s u_s$ 的新表示，其允许我们改进先前获得的格林函数估计。