具 Neumann 条件的分数阶 Schrödinger 方程非负解的存在性

本文研究分数阶拉普拉斯算子的 Neumann 问题，即 \begin{equation}\left\{ \begin{array}{rcll} \varepsilon^{2s}(- \Delta)^{s}u + u &=& f(u) \ \ &\mbox{in} \ \ \Omega \\ \mathcal{N}_{s}u &=& 0 , \,\, &\text{in} \ \, \mathbb{R}^{N}\backslash \Omega \end{array}\right. \end{equation} 其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^{N}$ 为光滑有界域，$N>2s$，$s \in (0,1)$，$\varepsilon > 0$ 为参数，$\mathcal{N}_{s}$ 为 Dipierro、Ros-Oton 和 Valdinoci 引入的非局部法向导数。我们建立了一个非负、非常量的小能量解 $u_{\varepsilon}$ 的存在性，并利用 Moser-Nash 迭代过程证明 $u_{\varepsilon} \in L^{\infty}(\Omega)$。