非线性分数阶相对论薛定谔方程：存在性、多解性、衰减与集中结果

本文研究以下一类分数阶相对论薛定谔方程：\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} (-\Delta+m^{2})^{s}u + V(\varepsilon x) u= f(u) &\mbox{ in } \mathbb{R}^{N}, \\ u\in H^{s}(\mathbb{R}^{N}), \quad u>0 &\mbox{ in } \mathbb{R}^{N}, \end{array} \right. \end{equation*} 其中 $\varepsilon>0$ 为小参数，$s\in (0, 1)$，$m>0$，$N> 2s$，$(-\Delta+m^{2})^{s}$ 为分数阶相对论薛定谔算子，$V:\mathbb{R}^{N}\rightarrow \mathbb{R}$ 为满足局部条件的连续势函数，$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ 为连续的次临界非线性项。利用推广的延拓方法与惩罚技巧，我们首先证明了对充分小的 $\varepsilon>0$，上述问题存在一个弱解 $u_{\varepsilon}$，且当 $\varepsilon\rightarrow 0$ 时该弱解集中在 $V$ 的局部极小点附近。通过构造合适的比较函数并进行精细估计，我们还证明了 $u_{\varepsilon}$ 在无穷远处具有指数衰减。其次，结合广义Nehari流形方法与Ljusternik-Schnirelman理论，我们将正解的个数与势函数 $V$ 取最小值点集合的拓扑联系起来。